การหาความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อทราบความยาวเพียงด้านเดียว

การหาความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 

เมื่อทราบความยาวเพียงด้านเดียว 

    เมื่อกำหนดให้ความยาวใด ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 แล้ว เราสามารถหาความยาว ของอีก 2 ด้านที่เหลือได้ โดยใช้สูตรของปีทาโกรัส(Pythagoras) และสูตรของพลสโต (Plato) ซึ่งมีโครงสร้างสูตรที่คล้ายกัน ดังนั้น เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำ จึงจะนำเสนอสูตรของพลาโต ดังนี้         สูตรของพลาโต คือ กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 (นั่นคือ จำนวนตั้งแต่ 2 ขึ้นไป) จะได้ว่า 2n, n2 – 1 และn2 + 1 เป็นจำนวนเต็ม ที่สอดคล้องกับสูตรบทของปีทาโกรัส ดังนี้

ข้อสังเกต : ความยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ควรจำ เขียนในรูปอัตราส่วนอย่างต่ำ ได้ดังนี้

     3 , 4 , 5             5 , 12 , 13             7 , 24 , 25    

     8 , 15 , 17        9 , 40 , 41        11 , 60 , 61

     12 , 35 , 37       13 , 84 , 85       20 , 21 , 29

        ข้อสังเกตง่ายๆ เกี่ยวกับตัวเลขที่พบบ่อยในการคิดคำนวณ ซึ่งจากการสังเกตพบว่ามีความเกี่ยวโยงสัมพันธ์กันซึ่งน่าจะเป็นประโยชน์ต่อนักเรียน

นักเรียนสังเกตดูชุดตัวเลขเหล่านี้ก็จะเห็นความสัมพันธ์ว่าชุดตัวเลขที่ยกมาให้ดูนี้เกิดจากการนำจำนวนเต็มมาคูณ เช่น 

                                    (3,4,5) x 2  = (6,8,10)

                                  (3,4,5) x 3  = (9,12,15)                                       (3,4,5) x 6  = (18,24,30)   

(3,4,5) x 4  = (12,16,20)

(3,4,5) x 5  = (15,20,25)

        ตัวเลขทั้งหมดต่างเป็นความยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อตัดเป็นอัตราส่วนอย่างต่ำก็จะได้  3 , 4 , 5    ส่วนชุดตัวเลขอื่นๆก็ล้วนมีความสัมพันธ์แบบนี้เช่นกัน

ขอบคุณแหล่งข้อมูล

บทเรียนออนไลน์ 

คณะผู้จัดทำ

กลุ่ม THEOREM

  จิณห์นิภา ผลเกิด เลขที่7

  ชนันภัทร  ธรรมษา เลขที่10

  พรเทพ     สายสร เลขที่ 23

  เอกภพ     สืบเทพ เลขที่ 39

ทฤษฎีพีทาโกรัส

 Pythagoras

                                      

    ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้

   "         ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านตรงข้าม   มุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านประชิด มุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น    "

     ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้ เรียกว่าสมการพีทาโกรัส เขียนได้ออกมาเป็น   

       โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก  และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ  ตามที่ได้กล่าวไปแล้ว ข้างต้น หาก c แทนความยาว ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b แทนความยาว ของอีกสองด้านที่เหลือแล้ว ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะสามารถเขียนในรูปสมการพีทาโกรัสได้ดังนี้ หรือ  

      ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกำหนดความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างง่าย เพื่อที่ว่าถ้าทราบความยาวของด้านสองด้าน ก็จะสามารถหาความยาวของด้านที่เหลือได้ อีกบทแทรกหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวกว่าสองด้านที่เหลือ แต่สั้นกว่าผลรวมของทั้งสอง

      ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถกล่าวโดยสรุปได้เป็นกฎของโคซายน์ ซึ่งเมื่อให้ความยาวของด้านทั้งสองและขนาดของมุมระหว่างด้านนั้นมา จะสามารถคำนวณหาความยาวด้านที่สามของสามเหลี่ยมใด ๆ ได้ ถ้ามุมระหว่างด้านเป็นมุมฉาก กฎของโคซายน์จะย่อลงเหลือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

การพิสูจน์

          ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทที่รู้จักกันว่ามีการพิสูจน์มากกว่าทฤษฎีบทอื่น หนังสือ The Pythagorean Proposition มีการพิสูจน์มากถึง 370แบบ เช่น

      

ภาพเคลื่อนไหวแสดงการพิสูจน์ทฤษฎีพีทาโกรัส

 

การพิสูจน์โดยการจัดเรียงพื้นที

                                                

การพิสูจน์โดยการจัดเรียงรูปสามเหลี่ยมใหม่

บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส

          บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัสนั้นเป็นจริง โดยกล่าวไว้ดังนี้   กำหนด a, b และ c เป็นจำนวนจริงบวกที่ จะมีสามเหลื่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาวด้านเท่ากับสามจำนวนนั้น และสามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากระหว่างด้าน a และ b

ชุดของสามจำนวนนี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส อีกข้อความหนึ่งกล่าวว่า

สำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้าน a, b และ c ถ้า   แล้วมุมระหว่าง aกับ b จะวัดได้ 90°

บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ Euclid's Elements ของ ยุคลิดด้วย

ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก

บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้

กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a,b และ cและระหว่าง aกับ b จะวัดได้90°

บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ Euclid's Elements ของ ยุคลิดด้วย

ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก

บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้

กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a,b และ c และ 

          เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง a และ b เป็นมุมฉาก ดังนั้น เราจะสร้างสามเหลื่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เป็น a และ b แต่จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่ากันทุกประการแบบ "ด้าน-ด้าน-ด้าน" และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ b มาประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย

จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม

                    ถ้า  สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

                    ถ้า   สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม      

                    ถ้า  สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน

สำหรับคนที่อยากลองทำโจทย์

              เป็นข้อสอบจับเวลา

               เป็นข้อสอบดาว์โหลด

ขอบคุณแหล่งข้อมูล

   wikipedia

   sites

คณะผู้จัดทำ

กลุ่ม THEOREM

  จิณห์นิภา ผลเกิด เลขที่7

  ชนันภัทร  ธรรมษา เลขที่10

  พรเทพ     สายสร เลขที่ 23

  เอกภพ     สืบเทพ เลขที่ 39

พีทาโกเรียน

พีทาโกเรียน

              สาวกของพีทาโกรัสได้ชื่อว่าพวก "พีทาโกเรียน" ผู้ที่เป็นนักคณิตศาสตร์และนักปราชญ์ที่บุกเบิกเรขาคณิต พวกพีทาโกเรียนยังมีความเชื่อเรื่องการกลับชาติมาเกิดและความเชื่อว่าตัวเลขเป็นธรรมชาติที่แท้จริงของทุกสิ่ง พวกเขาปฏิบัติพิธีกรรมล้างมลทิน ปฏิบัติตามกฎการกิน

อาหาร และกฎอื่น ๆ ซึ่งพวกเขาเชื่อว่าการปฏิบัติเช่นนี้จะทำให้พวกเขาเป็นอิสระจากวงจรการเกิดใหม่

         พวกพีทาโกรัสยังเชื่ออีกเรื่องความเสมอภาคของชายและหญิง พีทาโกรัสเองริเริ่มโรงเรียนของเขาพร้อมด้วยภรรยาของเขา ทีอาโน (Theano) และหลังจากที่พีทาโกรัสได้ตายไปแล้ว ทีอาโนและลูกได้สอนต่อที่โรงเรียนของพีทาโกรัส    พวกพีทาโกเรียนปฏิบัติต่อทาสอย่างดี และสัตว์มีฐานะเป็นสิ่งมีชีวิตที่มีวิญญาณ พวกพีทาโกเรียนยังเชื่ออีกว่าการชำระล้างวิญญาณที่สูงที่สุดคือ "ปรัชญา" หลายสิ่งที่พวกพีทาโกเรียนปฏิบัตินั้นเหมือนกันกับสิ่งที่พวกเชนในอินเดียปฏิบัติ ทำให้ผู้เชี่ยวชาญหลายท่านสันนิษฐานว่าพีทาโกรัสเองเคยได้ศึกษาอยู่กับพวกเชนในอินเดีย

ของบคุณแหล่งข้อมูล

วิกิพีเดีย

คณะผู้จัดทำ

กลุ่ม THEOREM

  จิณห์นิภา ผลเกิด เลขที่7

  ชนันภัทร  ธรรมษา เลขที่10

  พรเทพ     สายสร เลขที่ 23

  เอกภพ     สืบเทพ เลขที่ 39

ประวัตืของพีทาโกรัส

ประวัตืของพีทาโกรัส

พีทาโกรัส
 (570–495 ปีก่อนคริสตกาล)

                พีทาโกรัส (570–495 ปีก่อนคริสตกาล) เป็นนักคณิตศาสตร์และนักปราชญ์ชาวกรีกโบราณ, เป็นที่รู้จักในนามเจ้าของทฤษฎีบทพีทาโกรัส  พีทาโกรัสได้ชื่อว่าเป็น"บิดาแห่งตัวเลข" พีทาโกรัสไม่เพียงแต่มีความสำคัญต่อคณิตศาสตร์ เขายังได้สร้างสรรค์ความคิดหลายอย่างให้กับปรัชญาและศาสนา ในปลายศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล ถึงทุกวันนี้ เราไม่สามารถที่จะพูดถึงชีวประวัติของพีทาโกรัสได้ด้วยความแน่นอน เพราะตำนานและเรื่องเล่าต่าง ๆ นานาปิดบังข้อเท็จจริงของชีวิตพีทาโกรัสมากกว่าปราชญ์ใด ๆ ในยุคก่อนโสกราตีส

ประวัตืของพีทาโกรัส

                พีทาโกรัสเกิดเมื่อ 570 ปีก่อนคริสตกาล ที่เมืองซามอส และเป็นบุตรชายของพีทาอิสและเนซาร์คัส พีทาโกรัสได้ออกจากบ้านเกิดเมืองนอนของเขาไปที่โครโทน ในทางใต้ของอิตาลีเมื่อเขาเป็นชายหนุ่ม เพื่อที่จะหลีกหนีจากรัฐบาลทรราชของโพลีเครติส และผู้เชี่ยวชาญหลายคนคาดคะเนว่าก่อนที่พีทาโกรัสถึงเมืองโครโทนนั้น เขาได้เยี่ยมเยียนนักปราชญ์ของอียิปต์และบาบีโลนก่อน เมื่อเขาได้ย้ายถิ่นฐานจากซามอสมายังโครโทน พีทาโกรัสก็ได้ก่อตั้งสมาคมศาสนาลับ ที่คล้ายคลึงกับลัทธิออร์เฟอัสที่มีอยู่ก่อนหน้านั้น

               ณ เมืองโครโทน พีทาโกรัสได้จัดปฏิรูปวัตนธรรมของชาวโครโทน โดยแนะให้ชาวเมืองทำตามจริยธรรมและสร้างกลุ่มสาวกของพีทาโกรัส จากนั้นพีทาโกรัสก็ได้เปิดสถานศึกษา โรงเรียนของพีทาโรกัสเปิดรับทั้งชายและหญิง แต่ผู้ที่จะเข้าร่วมจำเป็นต้องสละทรัพย์สิน กินอยู่แบบมังสวิรัติที่โรงเรียน และเรียกตัวเองว่ามาเทมาทิคอย (Mathematikoi) คนอื่น ๆ ที่อยู่ในพื้นที่ใกล้เคียงก็สามารถเข้าเรียนได้ด้วย แต่จะไม่จำเป็นต้องสละทรัพย์สิน หรือใช้ชีวิตแบบมังสวิรัติ

แหล่งข้อมูล

วิกิพีเดีย

คณะผู้จัดทำ

กลุ่ม THEOREM

  จิณห์นิภา ผลเกิด เลขที่7

  ชนันภัทร  ธรรมษา เลขที่10

  พรเทพ     สายสร เลขที่ 23

  เอกภพ     สืบเทพ เลขที่ 39