Pythagoras
ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด
ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก
กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ
ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้
" ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านตรงข้าม
มุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านประชิด
มุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น "
ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้ เรียกว่าสมการพีทาโกรัส เขียนได้ออกมาเป็น 
โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ
ตามที่ได้กล่าวไปแล้ว ข้างต้น หาก c แทนความยาว
ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b แทนความยาว
ของอีกสองด้านที่เหลือแล้ว
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะสามารถเขียนในรูปสมการพีทาโกรัสได้ดังนี้
หรือ 
หรือ 
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกำหนดความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างง่าย
เพื่อที่ว่าถ้าทราบความยาวของด้านสองด้าน ก็จะสามารถหาความยาวของด้านที่เหลือได้
อีกบทแทรกหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ
ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวกว่าสองด้านที่เหลือ แต่สั้นกว่าผลรวมของทั้งสอง
ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถกล่าวโดยสรุปได้เป็นกฎของโคซายน์
ซึ่งเมื่อให้ความยาวของด้านทั้งสองและขนาดของมุมระหว่างด้านนั้นมา
จะสามารถคำนวณหาความยาวด้านที่สามของสามเหลี่ยมใด ๆ ได้
ถ้ามุมระหว่างด้านเป็นมุมฉาก กฎของโคซายน์จะย่อลงเหลือทฤษฎีบทพีทาโกรัส
การพิสูจน์
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทที่รู้จักกันว่ามีการพิสูจน์มากกว่าทฤษฎีบทอื่น
หนังสือ The
Pythagorean Proposition มีการพิสูจน์มากถึง 370แบบ เช่น
ภาพเคลื่อนไหวแสดงการพิสูจน์ทฤษฎีพีทาโกรัส
การพิสูจน์โดยการจัดเรียงพื้นที
การพิสูจน์โดยการจัดเรียงรูปสามเหลี่ยมใหม่
บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัสนั้นเป็นจริง
โดยกล่าวไว้ดังนี้ กำหนด a, b และ c
เป็นจำนวนจริงบวกที่
จะมีสามเหลื่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาวด้านเท่ากับสามจำนวนนั้น
และสามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากระหว่างด้าน a และ b
จะมีสามเหลื่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาวด้านเท่ากับสามจำนวนนั้น
และสามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากระหว่างด้าน a และ b
ชุดของสามจำนวนนี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส
อีกข้อความหนึ่งกล่าวว่า
สำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้าน a, b และ c ถ้า 
แล้วมุมระหว่าง aกับ b จะวัดได้
90°
แล้วมุมระหว่าง aกับ b จะวัดได้
90°
บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ Euclid's
Elements ของ ยุคลิดด้วย
ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว
แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก
บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์
หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้
กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว
a,b และ cและระหว่าง aกับ b จะวัดได้90°
บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ Euclid's
Elements ของ ยุคลิดด้วย
ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว
แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก
บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์
หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้
กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว
a,b และ c และ 
เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง a และ b เป็นมุมฉาก ดังนั้น
เราจะสร้างสามเหลื่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เป็น a และ b แต่จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส
เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน
สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่ากันทุกประการแบบ "ด้าน-ด้าน-ด้าน"
และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ b
มาประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย
จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม
ถ้า 
สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถ้า 
สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม
สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม
ถ้า 
สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน 
สำหรับคนที่อยากลองทำโจทย์
ขอบคุณแหล่งข้อมูล
คณะผู้จัดทำ
กลุ่ม THEOREM
จิณห์นิภา ผลเกิด เลขที่7
ชนันภัทร ธรรมษา เลขที่10
พรเทพ สายสร เลขที่ 23
เอกภพ สืบเทพ เลขที่ 39
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น